Introducción

La observación de un fenómeno es en general incompleta a menos  que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información se requiere la medición de una propiedad física. Así, la medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental. La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. Supongamos una habitación cuyo suelo está cubierto de baldosas, tal como se ve en la figura, tomando una baldosa como unidad, y contando el número de baldosas medimos la superficie de la habitación,  30 baldosas.  En la figura inferior la medida de la misma superficie da una cantidad diferente 15 baldosas. La medida de una misma magnitud física (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido a que se han empleado distintas unidades de medida. Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una única unidad de medida para una magnitud dada, de modo que la información sea comprendida por todas las personas. Este es el espíritu del Sistema Internacional de Unidades de medida, obligatorio en España y vigente en la Unión Europea.

 Unidades SI Básicas

Unidades SI Suplementarias 

Unidades SI Derivadas

Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular. Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton metro al joule.

Unidades SI Derivadas Expresadas a Partir de Unidades Básicas y Suplementarias

Unidades SI Derivadas con Nombres y Símbolos Especiales

Unidades SI Derivadas Expresadas a Partir de las que Tienen Nombres Especiales

Unidades Definidas a Partir de las Unidades SI pero que no son Múltiplos o Submúltiplos Decimales de dichas Unidades

Unidades en Uso con el Sistema Internacional cuyo Valor en Unidades SI se ha Obtenido Experimentalmente

Múltiplos y Submúltiplos Decimales

Errores en las Medidas

Reglas para Expresar una Medida y su Error

Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de medida.

Cuando un físico mide algo debe tener gran cuidado para no producir una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro. Pero cuando los ponemos juntos, algo de energía o "calor" se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la cantidad que deseábamos medir. Además, todas las medidas está afectadas en algún grado por un error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de registrar la información.

1.-Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas.

Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido

 297±2 mm.

De este modo entendemos que la medida de dicha magnitud está en alguna parte entre 295 mm y 299 mm. En realidad, la expresión anterior no significa que se está seguro de que el valor verdadero esté entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté ahí.

2.- Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).

3.-La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

 

• Expresiones incorrectas por la regla 2

 24567±2928 m

23.463±0.165 cm

345.20±3.10 mm

•  Expresiones incorrectas por la regla 3.

24567±3000 cm

43±0.06 m

345.2±3 m

•  Expresiones correctas

 24000±3000 m

23.5±0.2 cm

345±3 m

43.00±0.06 m

Medidas Directas

Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presión, humedad, etc., sino también, por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador.

Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos son x1, x2, ... xn se adopta como mejor estimación del valor verdadero el valor medio <x> que viene dado por

El valor medio se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podría bastar 4 ó 5.

Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida.

De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático definido por

 El resultado del experimento se expresa como

 <x>+Dx y la unidad de medida

4.-La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida.

Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la formula será cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo. Sino, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental será el error de la medida.

Error Absoluto y Error Relativo

Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores absolutos. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decir

donde <x> se toma en valor absoluto, de forma que e es siempre positivo.

El error relativo es un índice de la precisión de la medida. Es normal que la medida directa o indirecta de una magnitud física con aparatos convencionales tenga un error relativo del orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles, pero no son normales en un laboratorio escolar.

Medidas Indirectas

En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente.

Funciones de Una Sola Variable

Supongamos que la magnitud y cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra magnitud x, mediante la relación funcional y=f(x).

El error de y cuando se conoce el error de x viene dado por la expresión.

de nuevo <x> es el valor medio

Un ejemplo importante y frecuente en el laboratorio sobre las medidas indirectas es el siguiente:

4. Supongamos que queremos medir el periodo P de un oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa, y disponemos de un cronómetro que aprecia las décimas de segundo, 0.1 s. Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones, por ejemplo 4.6 s, dividiendo este tiempo entre 10 resulta P=0.46 s, que es el periodo "medio".

 Obtenemos para el error DP=0.01 s. Por tanto, la medida la podemos expresar como

P=0.46±0.01 s

Es evidente, que podemos aumentar indefinidamente la resolución instrumental para medir P aumentando el número de periodos que incluimos en la medida directa de t. El límite está en nuestra paciencia y la creciente probabilidad de cometer errores cuando contamos el número de oscilaciones. Por otra parte, el oscilador no se mantiene con la misma amplitud indefinidamente, sino que se para al cabo de un cierto tiempo.

Función de Varias Variables

La magnitud y viene determinada por la medida de varias magnitudes p, q, r, etc., con la que está ligada por la función y=f(p, q, r ...).

El error de la magnitud y viene dado por la siguiente expresión.

Casos más frecuentes

5. La medida de los lados de un rectángulo son 1.53±0.06 cm, y 10.2±0.1 cm, respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el error de la medida indirecta.

El área es z=1.53x10.2=15.606 cm2

El error relativo del área Dz/z se obtiene aplicando la fórmula del producto de dos magnitudes.

El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6. De acuerdo con la regla 3 la medida del área junto con el error y la unidad se escribirá como

15.6±0.6 cm2

La Balanza - Medida de la Densidad de un Sólido

La balanza es un instrumento básico en el laboratorio de Física. Hay muchos tipos de balanzas, la que simularemos en el programa interactivo es una de las más sencillas de manejar. Para pesar un determinado objeto, se desplazan masas calibradas a lo largo de cuatro rieles y se fijan en posiciones etiquetadas. Las divisiones en los cuatro rieles de las balanzas del laboratorio de Física de la E.U.I.T.I. de Eibar son las siguientes: de 100 g hasta 200 g de 10 g hasta 100 g de 1 g hasta 10 g  de 0.1 g hasta 1 g.   Medida de la Masa de un Cuerpo En el programa interactivo la balanza solamente aprecia gramos, el error que se comete en una medida es ± 1 g. Por ejemplo, si se ha pesado un cuerpo y de la lectura de los indicadores de la balanza se ha obtenido la cifra de 234. La medida del peso de dicho cuerpo se expresa como 234 ± 1 g   Medida del Volúmen de un Cuerpo Irregular Para medir la densidad de un cuerpo es necesario conocer su masa y su volumen. Si el cuerpo es irregular, no podemos calcular su volumen de forma directa. Pero podemos calcularlo indirectamente aplicando el principio de Arquímedes :  "Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje igual al peso del volumen de líquido desalojado" Sumergiendo completamente el cuerpo en agua, el peso del cuerpo disminuye debido al empuje. Tal como vemos en la figura, lo que nos marca la balanza F’ es igual a la diferencia entre el peso P y el empuje E. F’=P-E. Si el fluido es agua, cuya densidad es la unidad, el peso en gramos coincide numéricamente con el volumen medido en centímetros cúbicos. El empuje es igual a la diferencia F-F’ entre lo que marca la balanza antes y después de sumergir el cuerpo en agua e igual numéricamente al volumen del cuerpo en centímetros cúbicos. V=F-F’ Error en la Medida del Volumen De las fórmulas de loserrores en las medidas indirectas se obtiene que el error de una diferencia Como D F=D F’=1 , se obtiene que D V=1 cm3   Cálculo de la Densidad del Cuerpo Sólido Se define la densidad como el cociente entre la masa y el volumen de un cuerpo. De las fórmulas de los errores en las medidas indirectas se obtiene que el error de un cociente donde Dm=DV=1. Una vez obtenidas las medidas de m y de V, se calcula Dr, mediante la fórmula anterior.   Medidas de Longitud: el Calibre El calibre es un aparato empleado para la medida de espesores y diámetros interiores y exteriores. Consta de una regla provista de un nonius. El nonius es un aparato destinado a la medida precisa de longitudes o de ángulos. El empleado para la medida de longitudes consta de una regla dividida en partes iguales, sobre la que desliza una reglilla graduada (nonius) de tal forma que n-1 divisiones de la regla se dividen en n partes iguales del nonius. Si D es la longitud de una de las divisiones de la regla, la longitud de una división de nonius es d=D(n-1)/n Se llama precisión p a la diferencia entre las longitudes de una división de la regla y otra del nonius. Su valor es:   Así, si cada división de la regla tiene por longitud un milímetro, y se han dividido nueve divisiones de ella en diez del nonius, la precisión es de 1/10 de mm (nonius decimal).    Medida del Area de una Figura Rectangular Supongamos una pieza rectangular cuyos lados vamos a medir con dos calibres de distinta precisión.   Medida del Lado a El lado a lo medimos con un calibre de de 20 divisiones. Efectuar 5 medidas del lado a Hallar el valor medio <a> Hallar el error absoluto Da Expresar correctamente la medida  a+Da, de acuerdo con las reglas enunciadas. La medida es a ±Da     Medida del Lado b El lado b con un calibre de 10 divisiones Efectuar 5 medidas del lado b Hallar el valor medio <b> Hallar el error absoluto Db Expresar correctamente la medida  b+Db, de acuerdo con las reglas enunciadas. La medida es b ±Db     Cálculo del Area S Hallar el valor del área del rectángulo S. Hallar el error cometido en la medida del área del rectángulo DS Expresar correctamente la medida  del área y su error S+DS, de acuerdo con las reglas enunciadas. La medida es S ±DS