Introducción
Cuando golpeamos una campana o encendemos la radio, el sonido se escucha en lugares distantes de la campana o de la radio. Si arrojamos una piedra a un estanque observamos que en el agua se forma una ondulación y que esta se propaga. Cuando se enciende la lámpara de un cuarto este se ilumina. Las imágenes producidas en un estudio de televisión viajan a través del espacio hasta los receptores que se encuentran en nuestros hogares. Todo los procesos mencionados tienen algo en común: son situaciones físicas producidas en un punto del espacio que se propagan a través del mismo y se reciben en otro punto. Todos estos procesos son ejemplos del movimiento ondulatorio o dicho de otra manera son ondas.
Ideas fundamentales sobre el movimiento ondulatorio
Se puede definir como movimiento ondulatorio; la propagación de una perturbación en un medio. Veamos algunos ejemplos.
-
Sujetamos un extremo de una cuerda en la pared. Tomamos el otro extremo con la mano y le damos una sacudida. A lo largo de la cuerda se va propagando una ondulación. En este caso la perturbación no es otra que un desplazamiento vertical de una parte de la cuerda y el medio en el que se propaga es la propia cuerda.
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Lanzamos una piedra a un estanque en reposo y observamos como se forma una pequeña ola que avanza en todas direcciones. Aquí la perturbación es un desplazamiento arriba y abajo de las moléculas de agua y el medio el agua del estanque.
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Golpeamos la membrana tensa de un tambor, esta comenzará a vibrar transmitiendo esta vibración a las moléculas de aire vecinas, que a su vez la transmitirán a otras. La perturbación es, en este caso, una vibración, que producida en una membrana, se transmite por el aire (el medio en este caso).
En todos los ejemplos anteriores las partículas materiales que constituyen el medio se ponen en movimiento al paso de la onda pero no viajan por el medio como lo hace la onda.
En este punto es necesario decir que existen ondas que no necesitan ningún medio para propagarse, tales son: Las ondas electromagnéticas.
Descripción matemática del movimiento ondulatorio
Consideremos una función
x= f(x)
Representada gráficamente por la curva continua de la figura. Si reemplazamos x por x-a obtenemos la función
x=f(x-a)
Evidentemente, la forma de la curva no ha cambiado; los mismos valores de x se obtienen para valores de x aumentados en a. En otras palabras, suponiendo que a es positiva, vemos que la curva ha sido desplazada, sin deformación, hacia la derecha una cantidad a. Análogamente tenemos que
x=f(x+a)
Corresponde a un desplazamiento rígido de la curva, hacia la izquierda, en la cantidad a. Si a = v t, donde t representa el tiempo, obtenemos una curva "viajera", esto es
x=f(x-v t)
representa una curva que se mueve hacia la derecha con velocidad v, llamada velocidad de fase. Del mismo modo
x=f(x+v t)
representa una curva que se mueve hacia la izquierda con velocidad v. Concluimos entonces que una expresión matemática de la forma
es la adecuada para describir una situación física que "viaja" o "se propaga" sin deformación en la dirección del eje X, esto es una onda. La cantidad x(x , t) puede representar las más diversas magnitudes, tale como la deformación en un sólido, la presión en un gas ,un campo eléctrico o magnético o incluso una densidad de probabilidad como ocurre en física cuántica
Ondas transversales y ondas longitudinales
Ondas transversales son aquellas para las cuales; la perturbación que se propaga es perpendicular a la dirección de propagación, mientras que en las ondas longitudinales dicha perturbación es paralela a la dirección en la que la onda se propaga.
Ondas Sinusoidales
Un caso especialmente interesante es aquel en el cual x(x,t) es una función sinusoidal o armónica tal como
x(x,t)=x
0
sen k(x-vt)
La cantidad k tiene un significado especial. Reemplazando x por x+2p/k obtenemos el mismo valor para x(x,t). En efecto
x(x+2p/k-vt)=x
0
sen k(x+2p/k-vt)=x
0
sen[k(x-vt)+2p ]=
=x(x-vt)
Entonces
l=2p/k
es el "periodo espacial " de la onda; esto es la curva se repite cada longitud l. La cantidad l se denomina longitud de onda. Entonces k=2p/l representa el número de longitudes de onda en la distancia 2p y se denomina número de onda
Por consiguiente:
x(x,t)=x
0
sen k(x-vt)=x
0
sen 2p/l(x-vt)
representa una onda armónica sinusoidal o armónica de longitud de onda l propagándose hacia la derecha según el eje X con velocidad v, esta ecuación puede escribirse también
x(x,t)=x
0
sen(kx-w t)
donde
w=kv=2p v/l
da la frecuencia angular de la onda. Puesto que w =2pu donde u es la frecuencia con la cual la perturbación física varía en cada punto x tenemos la siguiente relación importante
lu=v
entre la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de propagación.
Superposición de ondas Interferencia
Cuando en una región del espacio coinciden dos o más ondas, se produce el fenómeno conocido como interferencia, que no es otra cosa que la superposición de los efectos producidos por ambas ondas y en virtud del cual, la perturbación resultante puede ser mayor o menor que las perturbaciones aisladas, pudiendo incluso anularse
Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas
Consideremos dos fuentes puntuales S
1
y S
2
que oscilan en fase con la misma frecuencia angular w y amplitudes x
01
y x
02
. Las ondas que emiten respectivamente, son:
x
1
=x
01
sen (w t - k r
1
)
x
2
=x
02
sen (w t - k r
2
)
donde r
1
y r
2
son las distancias desde cualquier punto a S
1
y S
2
respectivamente.
Tras el apropiado tratamiento matemático (Método de los vectores rotatorios de Fresnel) se obtiene que la amplitud de la perturbación resultante se expresa por:
x
0
=(x
01
2
+x
02
2
+2 x
01
x
02
cos d)
1/2
donde:
d= k r
1
-k r
2
=2 p/l (r
1
-r
2
)
De estas ecuaciones se deduce que x
0
está comprendido entre x
01
+x
02
y x
01
-x
02
dependiendo de que sea
cos d =+1 ó -1
ó
d = 2 n p ó d=(2 n+1) p
donde n es un número entero positivo o negativo: En el primer caso tenemos máximo refuerzo o interferencia constructiva, y en el segundo hay máxima atenuación o interferencia destructiva Esto es:
d = |
{ |
2 n p |
interferencia constructiva |
(2 n+1) p |
interferencia destructiva |
O escrito de otro modo:
2 p/l (r
1
-r
2
)= |
{ |
2 n p |
interferencia constructiva |
(2 n+1) p |
interferencia destructiva |
o sea
r
1
-r
2
= |
{ |
n l |
interferencia constructiva |
(2 n+1) l/2 |
interferencia destructiva |
Pero r
1
-r
2
=const define (en dos dimensiones) una hipérbola cuyos focos son S
1
y S
2
. Por consiguiente aquellas hipérbolas cuyas ecuaciones son r
1
-r
2
=(+ó -) l, r
1
-r
2
=(+ó -)2 l, r
1
-r
2
=(+ó -)3 l,.., se produce una interferencia constructiva mientras que en las hipérbolas r
1
-r
2
=(+ó -) 1/2 l, r
1
-r
2
=(+ó -)3/2 l, r
1
-r
2
=(+ó -)5/2 l la interferencia es destructiva
Análisis de Fourier del movimiento ondulatorio
El teorema de Fourier establece que una función periódica f(t) de periódo P=2p/w puede expresarse como la suma
f(t)=a
0
+a
1
cos w t +a
2
cos 2w t +...+a
n
cos nw t +...+
b
1
sen w t +b
2
sen 2w t +...+b
n
sen n w t +...
que se conoce como serie de Fourier. La frecuencia w se denomina frecuencia fundamental y las frecuencias 2w, 3w ,4w ... son los armónicos
Este mismo resultado se aplica al movimiento ondulatorio periódico. Supongamos que x=f(x-v t) sea un movimiento ondulatorio periódico, esto es un movimiento que se repite a sí mismo en los instantes P, 2P, 3P,...,nP,... . En otras palabras
x=f(x-v t) = f [x-v(t+P)]=f(x-vt+vP)
Esto significa que en un instante dado, el valor de x se repite cuando x aumenta o disminuye en vP, 2vP,...,nvP,... . Por lo tanto, si en lugar de cambiar t, cambiamos x en la cantidad l=v P, la onda se repite a sí misma en el espacio.
Supongamos ahora que x=f(x) es una función periódica en el espacio, de periódo l, esto es f(x)=f(x+l). Por tanto según el teorema de Fourier podemos escribir
x=f(x)=a
0
+a
1
cos kx +a
2
cos 2k x +...+a
n
cos nkx +...+
b
1
sen kx +b
2
sen 2kx +...+b
n
sen n kx +...
donde k=2p/l juega ahor el mismo papel que antes w. Entonces el movimiento ondulatorio descrito por x=f(x-v t) puede expresarse como
x=f(x-v t)=a
0
+a
1
cos k(x-vt) +a
2
cos 2k( x-vt) +...+
a
n
cos nk(x-vt) +...+
b
1
sen k(x-vt) +b
2
sen 2k(x-vt) +...+b
n
sen n k(x-vt) +...
o, ya que w=k v.
x=f(x-v t)=a
0
+a
1
cos (kx-wt) +a
2
cos 2(k x-wt) +...+
a
n
cos n(kx-wt) +...+
b
1
sen( kx-wt) +b
2
sen 2(kx-wt) +...+b
n
sen n (kx-wt) +...
lo cuál indica que cualquier movimiento ondulatorio periódico se puede expresar como una superposición de movimientos ondulatorios armónicos de frecuencias w,2w, 3w ,4w ... y longitudes de onda l, l/2,l/3,l/4...
Efecto Doppler
Cuándo la fuente de ondas y el observador se encuentran en movimiento relativo respecto al medio en el cual se propaga la onda, la frecuencia de las ondas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno se conoce como efecto Doppler en honor al físico C. J. Doppler (1803-1853) quien lo observó por primera vez en las ondas sonoras.
El caso más sencillo es el de una fuente que se mueve en linea recta a velocidad constante respecto de un observador en reposo. Existen dos casos muy diferentes según que la velocidad de la fuente sea mayor o menor que la velocidad de la fuente que emite.
Analizaremos primero la situación en la que la velocidad de las ondas v es mayor que la velocidad de la fuente u. Supongamos una fuente de ondas moviéndose de izquierda a derecha (Fig 7-1) con velocidad u. Observando la fuente en posiciones 1...n advertimos que después de un tiempo t, contado a partir del instante en que la fuente estaba en la posición 0, las ondas emitidas en las varias posiciones ocupan esferas 1..n las cuales no son concéntricas. La separación entere las ondas es mayor a la izquierda de la fuente en movimiento
Si el intervalo de tiempo entre las posiciones sucesivas de S lo llamamos t, entonces la separación de los frentes de onda es (v-u)t y (v+u)t. Pero vt representa la distancia de los frentes de onda en cualquier dirección si la fuente es estacionaria. Así pues existe una variación sistemática de la longitud de onda con la dirección para las ondas emitidas desde una fuente móvil; éste es el efecto Doppler. En particular, tenemos
lmin=l0(1-u/v)
lmax=l0(1+u/v)
O bien
nmin=n0 / (1-u/v)
nmax=n0 / (1+u/v)
para las frecuencias
La situación es más complicada para otras direcciones, pero puede analizarse sencillamente si la distancia de la fuente al punto de observación es grande comparada con la longitud de onda. En este caso se llega al resultado siguiente
l(q)=l0(1-u cos q / v)
o bien
n (q)=n0/(1-u cos q / v)
para la frecuencia
Estas últimas ecuaciones nos indican que el efecto Doppler depende de la componente de la velocidad de la fuente en la dirección del observador.
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